1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi  \(n \to  + \infty \).Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi  \(n \to  + \infty \).

* Chú ý:ꦬ Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = c\)

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b\) thì\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)b) Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) hay \({u_n} \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \) hay \({u_n} \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

*Quy tắc:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  + \infty \) (hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = 0\) và \({v_n} >0 \) với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) =  + \infty \).Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) =  + \infty \).