HĐ 3

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\) Tính và so sánh: \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\)

Phương pháp giải:

Tính \({u_n} + {v_n} \) và dùng công thức \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }\frac{1}{n}=0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}\) Do đó: \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\; = 5\) \({u_n}\; = 2\), \({v_n}\; = 3\) Vậy \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\)

LT 3

Tìm \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\).

Phương pháp giải:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\; = \frac{{\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{n}}}\; = \frac{{\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right)\;}}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\;}} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2 \).