1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì \(\sqrt {{a^2}.b}  = \left| a \right|\sqrt b \).

Ví dụ:

\(\sqrt {45}  = \sqrt {{3^2}.5}  = 3\sqrt 5 \);\(\sqrt {243a}  = \sqrt {{9^2}.3a}  = 9\sqrt {3a} \).

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn༺ (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Ví dụ: \(\sqrt {\frac{4}{7}}  = \sqrt {\frac{{4.7}}{{{7^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{7}} \right)}^2}.7}  = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

- Nếu a và b là hai số không âm thì \(a\sqrt b  = \sqrt {{a^2}b} \). - Nếu a là số âm và b là số không âm thì \(a\sqrt b  =  - \sqrt {{a^2}b} \).

Ví dụ:

\(5\sqrt 2  = \sqrt {{5^2}.2}  = \sqrt {50} \);Với \(a \ge 0\) thì \( - 2\sqrt a  =  - \sqrt {{2^2}.a}  =  - \sqrt {4a} \).

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A  + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\frac{C}{{\sqrt A  - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\).

Ví dụ:

\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt 3  - \sqrt {75}  + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\ = 2\sqrt 3  - \sqrt {{{3.5}^2}}  + \left| {1 - \sqrt 3 } \right|\\ = 2\sqrt 3  - 5\sqrt 3  + \sqrt 3  - 1\\ =  - 1 - 2\sqrt 3 \end{array}\)\(\begin{array}{l}B = x\sqrt x  - \frac{{{x^2} - x}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = x\sqrt x  - \frac{{\left( {{x^2} - x} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = x\sqrt x  - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = x\sqrt x  - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = x\sqrt x  - x\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\ = x\sqrt x  - x\sqrt x  + x\\ = x\end{array}\)