HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 19 SGK Toán 11 Cánh diều

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt \(a + b = u\); \(a - b = v\) rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: \(\cos u + \cos v\); \(\cos u - \cos v\); \(\sin u + \sin v\); \(\sin u - \sin v\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức biến tích thành tổng để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

\(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right] \) \(\Leftrightarrow 2\cos a.\cos b = \cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)\) \(\Leftrightarrow 2\cos \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2} = \cos u + \cos v\). \(\sin a.\sin b =  - \frac{1}{2}.\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\) \(\Leftrightarrow  - 2.\sin a.\sin b = \cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)\) \(\Leftrightarrow  - 2.\sin \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2} = \cos u - \cos v\). \(\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right] \) \(\Leftrightarrow 2\sin a.\cos b = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)\) \(\Leftrightarrow 2\sin \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2} = \sin u + \sin v\). \(\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right)\) \(= \sin a.\cos b + \cos a.\sin b - \sin a.\cos b + \cos a.\sin b \) \(= 2\cos a.\sin b\) \(\Leftrightarrow \sin u - \sin v = 2.\cos \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2}\).

LT-VD7

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 7 trang 19 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính \(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\) \(= \frac{{2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}}{{ - 2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}}\) \(= -\cot \frac{\pi }{3} = -\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).