Câu 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K. Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \)

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\). a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \). b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K. Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số. Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\). b) \(\int {k{x^n}dx}  = k\int {{x^n}dx}  = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K. a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K. b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K. Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

 

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm: a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \); b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \) Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)

Lời giải chi tiết:

a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx}  = 3\int {{x^2}dx + \int {1dx = {x^3} + x + C} } \); b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx}  = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C} } } } \).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số để tính: Vì \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\) nên doanh thu R(x) là một nguyên hàm của \({M_R}\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300\int {dx - 0,1\int {xdx = 300x - 0,05{x^2} + C} } } } \) Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\) Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\) Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng)