Đề bài

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết

Hệ trục tọa độ được gắn như hình vẽ. Gọi góc giữa mái nhà và mặt sàn là \(\alpha \). Ta có \(\alpha  = \left( {(ABC),(A'B'C')} \right)\). Vì ABC là tam giác đều, mà BO là đường cao (trục Ox vuông góc với Oy) nên BO đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, O là trung điểm của AC, suy ra \(AO = OC = \frac{{AC}}{2} = 2\) (m). Vì BO là đường trung truyến của tam giác đều có cạnh bằng 4 m nên \(BO = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \). Khi đó, ta có tọa độ các điểm: \(A'\left( {0; - 2;7} \right)\), \(B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\), \(C'\left( {0;2;5} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {A'C'}  = \left( {0;4; - 2} \right)\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\). Suy ra \(\overrightarrow n  = \frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\) là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’). Sàn nhà trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\). Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \alpha  \approx 26,{6^o}\). Vậy mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{6^o}\).