Đề bài

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là \({v_{TB}} = \frac{{180}}{3} = 60\) (km/h). Gọi \(v(t)\) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm \(t\). Do xe không chuyển động đều, để \({v_{TB}} = 60\), nếu có thời điểm xe chạy chậm hơn \({v_{TB}} = 60\) thì phải có thời điểm xe chạy nhanh hơn \({v_{TB}} = 60\). Tại thời điểm xuất phát, vận tốc của xe \(v(0) = 0\) nên chắc chắn có một thời điểm \({t_1}\) xe chạy với vận tốc \(v({t_1}) > {v_{TB}} = 60\). Xét hàm số \(f(t) = v(t) - 60\), rõ ràng \(f(t)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([0;{t_1}]\). + \(f(0) = v(0) - 60 = 0 - 60 =  - 60 < 0\); + \(f({t_1}) = v({t_1}) - 60 = v({t_1}) - 60 > 0\) (do \(v({t_1}) > 60\)). Do đó tồn tại thời điểm \(t'\) thuộc khoảng \((0;{t_1})\) sao cho \(f(t') = 0 \Leftrightarrow v(t') - 60 = 0 \Leftrightarrow v(t') = 60\). Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h. Thời điểm đó là \(t'\).