Đề bài

  Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau: a, \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) b,\(y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\) c,\(y=\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\) d,\(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\) e,\(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\) g,\(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\)

Lời giải chi tiết

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) 1) TXĐ: \(x \in \mathbb{R}\left\{ { - 1} \right\}\) 2) Sự biến thiên \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\;\) với mọi \(x \ne  - 1\) Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) Hàm số không có cực trị 3) Đồ thị Giao điểm đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 1} \right)\) Giao điểm đồ thị với trục hoành: \(\left( {1;0} \right)\) Đồ thị đi qua các điểm: \(\left( {0; - 1} \right)\), \(\left( {1;0} \right)\)

b) \(y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\) 1) TXĐ: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) 2) Sự biến thiên  với mọi \(x \ne  - 1\) Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,\infty } \right)\) 3) Đồ thị Giao điểm đồ thị với trục tung: \(\left( {0;0} \right)\) Giao điểm đồ thị với trục hoành: \(\left( {0;0} \right)\)

c) \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\) 1) TXĐ: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) 2) Sự biến thiên Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)\( = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}\) \(y' = 1 - \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) Xét \(y' = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty , - 1} \right),\left( {3, + \infty } \right)\). Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1,1} \right),\left( {1,3} \right)\) 3) Đồ thị Giao điểm đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 6} \right)\)

d) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\) Hàm số trên xác định trên R\{2} Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)\( =  - x - \frac{4}{{x - 2}}\)           \(y' =  - 1 + \frac{4}{{{{(x - 2)}^2}}}\)\( = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{(x - 2)}^2}}}\) Xét \(y' = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\) Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta thấy Hàm số đồng biến \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)trên các khoảng \((0;2)\) và \((2;4)\) Hàm số nghịch biến \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((4; + \infty )\) Ta có đồ thị hàm số là

e) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\) Hàm số xác định trên R\{-2} Ta có \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\) \( = 2x - \frac{{x + 5}}{{x + 2}}\)            \(y' = 2 + \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) Vì \(y' > 0\)với \(x \in R/\left\{ { - 2} \right\}\) Nên hàm số luôn đồng biến với \(x \in R/\left\{ { - 2} \right\}\) Ta có đồ thị hàm số là

g) \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\) Hàm số xác định trên R/{2} Ta có : \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\) \( =  - x + \frac{3}{{x - 2}}\)            \(y' =  - 1 - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\) Vì \(y' < 0\)với \(x \in R/\left\{ 2 \right\}\) Nên hàm số luôn nghịch biến với \(x \in R/\left\{ 2 \right\}\) Ta có đồ thị hàm số là