Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \). 

Lời giải chi tiết

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD. Suy ra \(\overrightarrow {OC}  =  - \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD}  =  - \overrightarrow {OB} \) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \) \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \) Do đó, \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) Chứng minh: Nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành: Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SB}  = \overrightarrow {SD}  - \overrightarrow {SC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) Suy ra, hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và có độ lớn bằng nhau. Suy ra, \(AB = CD,\) AB//CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành. Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)