Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G vꦰà C’ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên \(\overrightarrow {A'G}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \). Vì I là trung điểm BD nên \(\overrightarrow {A'I}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'D} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} } \right) =  - \overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \) Do đó, \(\overrightarrow {A'G}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \) Ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'G}  = \overrightarrow {AA'}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\) b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) Do đó, \(\overrightarrow {AC'}  = 3\overrightarrow {AG} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {AG} \) cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.