Đề bài

Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\);
b) \(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\);
d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}} \).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). \(y' = 6{x^2} - 18x + 12\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\) có điểm cực đại là \(\left( {1;0} \right)\). Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\) có điểm cực tiểu là \(\left( {2; - 1} \right)\). b) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} =  2\). Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\) đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \sqrt 2 \) và \({y_{CT}} =  - 2\). c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 2 \\x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (thỏa mãn) Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và \({y_{CĐ}} = -2\sqrt 2 \). Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2 \) và \({y_{CT}} = 2\sqrt 2 \). d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}} \) Tập xác định: \(D = \left[ {0;2} \right]\). Ta có: \(y' = \frac{{\left( {4x - 2{x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{2({ - x + 1})}{{\sqrt {4x - 2{x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\) Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), \({y_{CĐ}} = \sqrt 2 \), hàm số không có cực tiểu.