Đề bài

Giải các phương trình sau: a. \(\frac{1}{{x - 7}} + 4 = \frac{{x + 1}}{{7 - x}}\); b. \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x - 2}}{{x_{}^2 - 1}}\); c. \(\frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\).

Lời giải chi tiết

a. \(\frac{1}{{x - 7}} + 4 = \frac{{x + 1}}{{7 - x}}\) Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 7\). Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được: \(\begin{array}{l}\frac{1}{{x - 7}} + \frac{{4\left( {x - 7} \right)}}{{x - 7}} =  - \frac{{x + 1}}{{x - 7}}\\1 + 4x - 28 + x + 1 = 0\\5x - 26 = 0\\x = \frac{{26}}{5}\end{array}\) Ta thấy \(x = \frac{{26}}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{26}}{5}\). b. \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x - 2}}{{x_{}^2 - 1}}\) Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\). Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được: \(\begin{array}{l}\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x_{}^2 - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x_{}^2 - 1}} = \frac{{3x - 2}}{{x_{}^2 - 1}}\\x_{}^2 + 2x + 1 - \left( {x_{}^2 - 2x + 1} \right) = 3x - 2\\x_{}^2 + 2x + 1 - x_{}^2 + 2x - 1 - 3x + 2 = 0\\x =  - 2\end{array}\) Ta thấy \(x =  - 2\) thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =  - 2\). c. \(\frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\) Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 2,x \ne 3\) và \(x \ne 4\). Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được: \(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\3x - 12 + 2x - 6 = x - 2\\5x - x = 12 + 6 - 2\\4x = 10\\x = \frac{5}{2}\end{array}\) Ta thấy \(x = \frac{5}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{5}{2}\).