Đề bài

a) \(y =  - {x^3} + 3x - 6\) b) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) c) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) d) \(y = \frac{{3x}}{{{x^2} - 9}}\)

Lời giải chi tiết

a)  \(y =  - {x^3} + 3x - 6\) Hàm số xác định trên R Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 3\) Xét \(y' = 0\) \( \Rightarrow  - 3{x^2} + 3 = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\) Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số \(y =  - {x^3} + 3x - 6\) đồng biến trên khoảng\(( - 1;1)\) Hàm số \(y =  - {x^3} + 3x - 6\) nghịch biến trên khoảng\(( - \infty ; - 1),(1; + \infty )\) Hàm số \(y =  - {x^3} + 3x - 6\) đạt giá trị cực đại \(x = 1\)tại khi đó\(y =  - 4\) Hàm số \(y =  - {x^3} + 3x - 6\) đạt giá trị cực tiểu tại \(x =  - 1\) khi đó\(y =  - 8\) b) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) Hàm số trên xác định trên R/{2} Ta có: \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) Vì \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0\)với \(\forall x \in R/\{  - 2\} \) Nên hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;2),(2; + \infty )\) Và hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) không có điểm cực trị c)  \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) Hàm số xác định trên R/{-1} Ta có: \(y' = \frac{{( - 2x + 2)(x + 1) - ( - {x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) Xét \(y' = 0\)\( \Rightarrow  - {x^2} - 2x = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\) Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đồng biến trên khoảng\(( - 2;1),(1;2)\) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng\(( - \infty ; - 2),(0; + \infty )\) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt giá trị cực đại \(x = 0\) tại khi đó \(y = 2\) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt giá trị cực tiểu tại \(x =  - 2\) khi đó \(y = 6\) d) \(y = \frac{{3x}}{{{x^2} - 9}}\) Hàm số trên xác định trên R/{-3;3} Ta có: \(y' = \frac{{3({x^2} - 9) - 3x.2x}}{{{{({x^2} - 9)}^2}}}\) \( = \frac{{ - 3{x^2} - 27}}{{{{({x^2} - 9)}^2}}}\) Vì \(y' = \frac{{ - 3{x^2} - 27}}{{{{({x^2} - 9)}^2}}} < 0\) với \(\forall x \in R/\{  - 3;3\} \) Nên hàm số \(y = \frac{{3x}}{{{x^2} - 9}}\) nghịch biến trên khoảng\(( - \infty ; - 3),( - 3;3),(3; + \infty )\) Và hàm số\(y = \frac{{3x}}{{{x^2} - 9}}\) không có cực trị