Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{3x + 6}}{{2 - x}}\) b) \(y = 2x + \frac{3}{{2 - x}}\)

Lời giải chi tiết

a) - Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 2\} \) - Sự biến thiên: Giới hạn, tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - 3\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - 3\) Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} =  - 3\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} = \infty \) Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho Ta có: \({y^\prime } = \frac{{12}}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0\forall x \in D\) Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị Tiệm cận đứng: \(x = 2\) và tiệm cận ngang \(y =  - 3\) Giao với trục Oy tại điểm (0,3) Giao với trục Ox tại điểm (-2,0)

b) - Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 2\} \) - Sự biến thiên: Giới hạn, tiệm cận: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) = \infty \] \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) =  - \infty \) Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) =  - \infty \)

 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) = \infty \) Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{3}{{2 - x}} \to 0\)nên đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Ta có: \({y^\prime } = 2 + \frac{3}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0\forall x \in D\) Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị Giao điểm với trục Ox là \(\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2};0} \right),\left( {\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2};0} \right)\) Giao điểm với trục Oy là \(\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\)