Đề bài

Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: D = R. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \infty \)

_{Ta có:}

\({y^\prime } =  - 3{x^2} + 3\) \({y^\prime } = 0 \leftrightarrow  - 3{x^2} + 3 = 0 \leftrightarrow x =  \pm 1\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-1) và (1,∞), đồng biến trên khoảng (-1,1). Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} =  - 1\) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\) - Vẽ đồ thị: Giao điểm với trục Oy là (0,1). Giao điểm với trục Ox là (-1,53;0), (-0,53;0) và (1,88;0).

- Tính đạo hàm bậc hai: \(f''(x) =  - 6x\) - Giải phương trình \(f''(x) = 0\): \( - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) \(x = 0 \to f(0) = 1\) Vậy (0,1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.