Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\); b) \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) 2. Sự biến thiên: \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne  - 1\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2\).
🎐 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x =  - 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang. Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;1). \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\). Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) 2. Sự biến thiên: \(y' = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne 1\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  - 1\)
ꦗ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} =  - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y =  - 1\) làm tiệm cận ngang. Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 3). \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 3;0} \right)\). Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.