Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) b) \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\) c) \(y =  - 2{x^3} + 2\) d) \(y =  - {x^3} - {x^2} - x + 1\)

Lời giải chi tiết

a) - Tập xác định: D = R. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) =  - \infty \)

_{Ta có:} \({y^\prime } = 3{x^2} + 6x\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \leftrightarrow x =  - 2{\rm{ hoac }}x = 0\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (0,∞), nghịch biến trên khoảng (-2,0). Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} =  - 4\) Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} = 0\) - Vẽ đồ thị: Giao điểm với trục Oy là (0,-4). Giao điểm với trục Ox là (-2,0), (1,0).

b) - Tập xác định: D = R. - Sự biến thiên: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) =  - \infty \) Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} + 8x + 4\) \({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 4 = 0 \leftrightarrow x =  - 2{\rm{  }}\)hoặc \(x = \frac{{ - 2}}{3}\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty , - 2)\) và \(\left( {\frac{{ - 2}}{3},\infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\). Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ - 2}}{3},{y_{CT}} =  - \frac{{32}}{{27}}\) Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} = 0\) - Vẽ đồ thị: Đi qua gốc tọa độ O(0,0). Giao điểm với trục Ox là (-2,0).

c) - Tập xác định: D = R. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = \infty \) Ta có: \({y^\prime } =  - 6{x^2} \le 0\forall x \in R\)  \({y^\prime } = 0 \leftrightarrow  - 6x = 0 \leftrightarrow x = 0{\rm{  }}\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R. Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị: Giao điểm với trục Oy là (0,2). Giao điểm với trục Ox là (1,0).

d) \(\) - Tập xác định: D = R. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \infty \) Ta có: \({y^\prime } =  - 3{x^2} - 2x - 1 < 0\forall x \in R\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R. Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị Giao với trục Oy tại điểm (0,1) Giao với trục Ox tại điểm (0.5437,0)