Đề bài

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) =  - {t^3} + 2t - t\), với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠. b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) - Tập xác định: \(D = \{ x \ge 0,x \in R\} \) - Tính đạo hàm: \(s'(t) =  - 3{t^2} + 4t - 1\) Giải phương trình: \(s'(t) = 0 \Leftrightarrow  - 3{t^2} + 4t - 1 = 0 \Rightarrow {t_1} = 1,{t_2} = \frac{1}{3}\) - Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } s(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - {t^3} + 2{t^2} - t} \right) =  - \infty \) - Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, \(\frac{1}{3}\)) và (1,∞) Hàm số đồng biến trên khoảng (\(\frac{1}{3}\),1) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2},{y_{CT}} =  - \frac{4}{{27}}\) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 0\)

b) Ta có vận tốc: \(v(t) = s'(t) =  - 3{t^2} + 4t - 1\) Điểm cực trị của vận tốc: Giải \(s''(t) = 0\): \( - 6t + 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\)  Vận tốc tại các điểm biên và cực trị: \(\begin{array}{l}v(0) =  - {3.0^2} + 4.0 - 1 =  - 1\\v\left( {\frac{2}{3}} \right) =  - 3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 4\left( {\frac{2}{3}} \right) - 1 =  - \frac{{12}}{9} + \frac{8}{3} - 1 =  - \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{1}{3}\\v(2) =  - 3 \cdot {2^2} + 4 \cdot 2 - 1 =  - 12 + 8 - 1 =  - 5\end{array}\) Vậy, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 2 giây là \(\frac{1}{3}\) m/s.