Đề bài

  Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải chi tiết

Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên. Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a. Đặt DE = FC = x (m) (x > 0).  Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a. Theo định lí Pythagore, ta suy ra \(AE = \sqrt {A{D^2} - D{E^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (m). Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a. Diện tích của hình thang cân ABCD là:

\(S = \frac{1}{2}(AB + CD)AE = \frac{1}{2}(a + 2x + a)\sqrt {{a^2} - {x^2}}  = (a + x)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (m²).

Xét hàm số \(S(x) = (a + x)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) với \(x \in (0;a)\). Ta có \(S'(x) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow (x + a)(a - 2x) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - a}\\{x = \frac{a}{2}}\end{array}} \right.\) Khi đó trên khoảng (0;a), S’(x) = 0 khi \(x = \frac{a}{2}\). Ta có bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) tại \(x = \frac{a}{2}\).

Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) (m²).