Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng: a) \(AM.AB = A{H^2}\) và \(AM.AB = AN.AC\) b) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)Vì \(AH \bot BC\) (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\)Vì \(HM \bot AB\) nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HMB} = {90^0}\)Vì \(HN \bot AC\) nên \(\widehat {HNA} = \widehat {HNC} = {90^0}\)Tam giác AMH và tam giác AHB có:\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {HAB}\;chung\)Do đó, $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g-g \right)$Suy ra: \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên \(AM.AB = A{H^2}\) (1)Tam giác ANH và tam giác AHC có:\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {HAC}\;chung\)Do đó, $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$Suy ra: \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên \(AN.AC = A{H^2}\) (2)Từ (1) và (2) ta có: \(AM.AB = AN.AC\)b) Theo phần a ta có: \(AM.AB = AN.AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)Tam giác AMN và tam giác ACB có: \(\widehat {BAC}\;chung,\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)Do đó, $\Delta AMN\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$