Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: a) $\Delta BDF\backsim \Delta BAC$ và $\Delta CDE\backsim \Delta CAB$; b) \(BF.BA + CE.CA = B{C^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên \(AD \bot BC,BE \bot AC,CF \bot AB\)nên \(\widehat {AEB} = \widehat {BEC} = \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \widehat {CFA} = \widehat {CFB} = {90^0}\)Tam giác BDA và tam giác BFC có:\(\widehat {BDA} = \widehat {BFC}\left( { = {{90}^0}} \right),\widehat {ABC}\;chung\)Do đó, $\Delta BDA\backsim \Delta BFC\left( g-g \right)$ nên \(\frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)Suy ra \(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\)Tam giác BDF và tam giác BAC có:\(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}},\widehat {ABC}\;chung\)Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta BAC\left( c-g-c \right)$Tam giác CDA và tam giác CEB có:\(\widehat {CDA} = \widehat {BEC}\left( { = {{90}^0}} \right),\widehat {ACB}\;chung\)Do đó, $\Delta CDA\backsim \Delta CEB\left( g-g \right)$ nên \(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{BC}}\)Suy ra \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\)Tam giác CDE và tam giác CAB có: \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}},\widehat {ACB}\;chung\)Do đó, $\Delta CDE\backsim \Delta CAB\left( c-g-c \right)$ b) Theo chứng minh phần a ta có:+) \(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) nên \(BF.BA = BD.BC\)+) \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\) nên \(CE.CA = CD.BC\)Suy ra: \(BF.BA + CE.CA = BD.BC + CD.BC\)\( = BC\left( {BD + CD} \right) = B{C^2}\)