Đề bài

Cho A’, B’, C’, D’, E’, F’ là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là một lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Tam giác F’AA’ và A’BB’ có: \(AF' = \frac{{AF}}{2} = \frac{{AB}}{2} = BA'\), \(AA' = \frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{2} = BB'\), \(\widehat {F'AA'} = \widehat {FAB} = \widehat {ABC} = \widehat {A'BB'}\) Do đó, $\Delta F’AA’=\Delta A’BB’\left( c.g.c \right)$, suy ra \(F'A' = A'B'\). Chứng minh tương tự ta có: \(A'B' = B'C' = C'D' = D'E' = E'F' = F'A'\) (1) Vì lục giác đều ABCDEF nội tiếp một đường tròn và mỗi góc của lục giác đều chắn một cung bằng \(\frac{4}{6}\) đường tròn đó. Do đó, \(\widehat {F'AA'} = \widehat {A'BB'} = \frac{1}{2}.\frac{4}{6}{.360^o} = {120^o}\). Ta có: \(\widehat {F'A'B'} = {180^o} - \widehat {F'A'A} - \widehat {B'A'B} \\= {180^o} - \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {F'AA'}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {A'BB'}} \right) \\= {120^o}\) Tương tự ta có các góc còn lại của lục giác A’B’C’D’E’F’ bằng \({120^o}\) (2). Từ (1) và (2) ta có: Lục giác A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.