Đề bài

Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. Một đường thẳng qua C cắt Ax tại M, cắt By tại P. Điểm N nằm trên tia đối của tia BP sao cho góc MCN là góc vuông. Gọi H là hình chiếu của C trên MN. Chứng minh: a)AM + BN = MN; b) CM là đường trung trực của AH, CN là đường trung trực của BH; c) Góc AHB là góc vuông.

Lời giải chi tiết

a)-Chứng minh AM = MHXét \(\Delta AMC\) và \(\Delta BPC\) có:AC = CB (gt)\(\widehat {MAC} = \widehat {PBC} = {90^0}\)\(\widehat {ACM} = \widehat {BCP}\)(đối đỉnh)\( \Rightarrow \)\(\Delta AMC\) = \(\Delta BPC\)(g – c – g)\( \Rightarrow \) MC = CP (cạnh tương ứng)Mà \(NC \bot MP\)\( \Rightarrow \)NC là đường trung trực của MP\( \Rightarrow \)Tam giác NMP cân tại N\( \Rightarrow \)\(\widehat {{P_1}} = \widehat {{M_2}}\)Mà \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{M_1}}\)(so le trong: Mx // By)

\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta HMC\) có:\(\begin{array}{l}\widehat {MAC} = \widehat {MHC} = {90^0}\\MC:chung\\\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMC = \Delta HMC\left( {ch - gn} \right)\\ \Rightarrow AM = MH\left( {ctu} \right)\end{array}\)-Chứng minh:NB = NHTam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.Xét \(\Delta HNC\) và \(\Delta BNC\) có:CN: chung

\(\begin{array}{l}\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\left( {cmt} \right)\\\widehat {CHN} = \widehat {CBN} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CHN = \Delta CBN\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow NH = NB\)(cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow AM + BN = MH + HN = MN\)b)Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M\( \Rightarrow \)MC là đồng thời là đường trung trực của AHTam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N\( \Rightarrow \)NC đồng thời là đường trung trực của BH.c)Xét tam giác HAB có CA = CB\( \Rightarrow \)HC là đường trung tuyến\(\Delta AMC = \Delta HMC\)(cmt) \( \Rightarrow AC = HC\)(cạnh tương ứng)\( \Rightarrow HC = CA = CB\)Đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.Vậy tam giác HAB vuông tại H.