Đề bài

Xét tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại E; đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh: a)AE < EC b) BK = BC.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng EK cắt BC tại H Ta có: E nằm trên đường phân giác góc B \( \Rightarrow EA = EH\)(T/c) Lại có: Tam giác EHC vuông tại H có: EH là cạnh góc vuông, EC là cạnh huyền \( \Rightarrow EH < EC\) (mlh giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông) \( \Rightarrow EA < EC\). b) Xét tam giác BCK có: \(\left\{ \begin{array}{l}KH \bot BC\\CA \bot BK\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \)CH, BK là đường cao trong tam giác BCK Mà CH cắt BK tại  E \( \Rightarrow \)E là trực tâm tam giác BCK \( \Rightarrow \)BE là đường cao \( \Rightarrow \) BE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao xuất phát từ B của tam giác BCK \( \Rightarrow \)Tam giác BCK cân tại B. \( \Rightarrow \)BC = BK.