Đề bài

Cho M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác đều ABC. Lấy điểm N nằm khác phía với M đối với đường thẳng AC sao cho \(\widehat {CAN} = \widehat {BAM}\) và AN = AM. Chứng minh: a) Tam giác AMN là tam giác đều b) \(\Delta MAB = \Delta NAC\) c) MN = MA, NC = MB

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC là tam giác đều nên: \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\) Ta có: \(\begin{array}{l}\widehat {MAN} = \widehat {MAC} + \widehat {CAN} = \widehat {MAC} + \widehat {BAM}\left( {do\,\,\widehat {CAN} = \widehat {BAM}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {MAN} = \widehat {BAC} = {60^0}\end{array}\) Xét tam giác AMN có: AM = AN (gt) \( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A Mà \(\widehat {MAN} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều. b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta NAC\) có: AB = AC (gt) AM = AN (gt) \(\widehat {MAB} = \widehat {NAC}\)(gt) \( \Rightarrow \)\(\Delta MAB\)= \(\Delta NAC\) (c – g – c) c) Tam giác AMN đều (cm ý a) \( \Rightarrow \)MN = MA \(\Delta MAB\)= \(\Delta NAC\) (cm ý b) \( \Rightarrow MB = NC\)(cạnh tương ứng)