Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm J. Chứng minh rằng: a) $\Delta JAD\backsim \Delta JBC,\Delta JAB\backsim \Delta JDC$; b) \(\frac{{JA}}{{JC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\frac{{DA}}{{DC}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác JAD và tam giác JBC có: \(\widehat {AJD} = \widehat {BJC}\) (hai góc đối đỉnh), \(\widehat {JAD} = \widehat {JBC}\) (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ DC). Do đó, $\Delta JAD\backsim \Delta JBC\left( g.g \right)$. Tam giác JAB và tam giác JDC có: \(\widehat {AJB} = \widehat {DJC}\) (hai góc đối đỉnh), \(\widehat {JAB} = \widehat {JDC}\) (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ BC). Do đó, $\Delta JAB\backsim \Delta JDC\left( g.g \right)$. b) Vì $\Delta JAB\backsim \Delta JDC$ nên \(\frac{{JB}}{{JC}} = \frac{{AB}}{{DC}}\); $\Delta JAD\backsim \Delta JBC$ nên \(\frac{{JA}}{{JB}} = \frac{{AD}}{{BC}}\). Do đó, \(\frac{{JA}}{{JC}} = \frac{{JA}}{{JB}}.\frac{{JB}}{{JC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\frac{{DA}}{{DC}}\).