Đề bài

a) Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: AB + AC > PB + PC b) Cho M là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right) < MA + MB + MC < AB + BC + CA\)

Lời giải chi tiết

a)P là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng BP cắt cạnh AC tại NTa có:AB + AC = AB + AN + NC = (AB + AN) + NC (1)Xét tam giác ABN: AB + AN > BN (Bất đẳng thức tam giác)                           =>AB + AN > BP + PN (2)Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BP + (PN + NC) > BP + PC (Bất đẳng thức tam giác PNC)b)Ta có:MA + MB > AB (bất đẳng thức trong tam giác ABM)MB + MC > BC (bất đẳng thức trong tam giác MBC)MC + MA > CA (bất đẳng thức trong tam giác MAC)Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải:

2(MA + MB + MC) > AB + BC + CA
🌟 \( \Rightarrow MA + MB + MC > \dfrac{{AB + BC + CA}}{2}\) (1)

Mặt khác theo a)M là điểm nằm trong tam giác ABC:AB + AC > MB + MCCA + CB > MA + MBBA + BC > MA + MCCộng VT với VT, VP với VP:2(AB + BC + CA) > 2(MA + MB + MC)=>AB + BC + CA > MA + MB + MC (2)Từ (1) và (2) suy ra:\(\dfrac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right) < MA + MB + MC < AB + BC + CA\)