Đề bài

🐼Cho hình bình hành \(ABCD\). Các điểm \(E\), \(F\) thuộc đường chéo \(AC\) sao cho \(AE = EF = FC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BF\) và \(CD\), \(N\) là giao điểm của \(DE\) và \(AB\). Chứng minh rằng:

🙈a) \(M\), \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD\), \(AB\)

b) \(EMFN\) là hình bình hành

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

𝓀\(AE = EF = FC\) nên \(AE = EF = FC = \frac{1}{3}AC\) (1)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

ܫSuy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\) hay \(OA = OC = \frac{1}{2}AC\) và \(AC = 2OA = 2OC\) (2)

ꦆTừ (1) và (2) suy ra \(AE = EF = FC = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}OC\).

♒Xét \(\Delta BCD\) có \(CO\) là trung tuyến và \(CF = \frac{2}{3}CO\) (cmt)

Suy ra \(F\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

🗹Suy ra \(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(CD\)

ꦕXét \(\Delta ABD\) có \(AO\) là trung tuyến và \(AE = \frac{2}{3}AO\) (cmt)

Suy ra \(E\) là trọng tâm của \(\Delta ABD\)

𝄹Suy ra \(DN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(AB\)

b) Do M là trung điểm của CD (câu a) nên \(MC = MD = \frac{1}{2}CD\).            N là trung điểm của AB (câu a) nên \(NB = NA = \frac{1}{2}AB\).Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)Suy ra NB = MD và NB // MD.Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MDDo đó BMDN là hình bình hành.Suy ra BM // DN và BM = DN.Ta có E là trọng tâm của \(\Delta\)ABD nên  \(EN = \frac{1}{3}DN\). F là trọng tâm của \(\Delta\)BCD nên \(FM = \frac{1}{3}BM\).Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)Suy ra EMFN là hình bình hành.