Đề bài

Cho hình hình hành \(ABCD\) có \(AD = 2AB\). Từ \(C\) vẽ \(CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\). Nối \(E\) với🦄 trung điểm \(M\) của \(AD\). Từ \(M\) vẽ \(MF\) vuông góc với \(CE\) tại \(F\), \(MF\) cắt \(BC\) tại \(N\).

a) Tứ giác \(MNCD\) là hình gì?

b) Chứng minh tam giác \(EMC\) cân tại \(M\)

c) Chứng min෴h rằng \(\wideᩚᩚᩚᩚᩚᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ𒀱ᩚᩚᩚhat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)

Hướng dẫn:

a) Chứng minh \(EN = NC = N𓆏B = \)💙 \(\frac{1}{2}\) \(BC\)

b) Chứng minh \(\widehat {AEM} = \wide🔜hat {E🦩MN} = \widehat {NMC} = \widehat {MCD} = \frac{1}{2}\widehat {NCD}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(MN \bot CE\) (gt)

\(AB \bot CE\) (gt)

Suy ra \(MN\) // \(AB\)

\(MN\)Mà \(AB\) // \(CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nê🐻n \(MN\)

 // \(CD\)

Xét tứ giác \(MNCD\) ta có:

\(MN\) // \(CD\) (cmt)

\(MD\) // \(CN\) (do \(AD\) // \(BC\))

Suy ra \(MNCD\) là hình bình hành

Lại có:

 \(AD = 2AB\) (gt);    

\(AD = 2MD\) (do \(M\) là trung điểm của \(AD\))

\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(MD = CD\)

Hình bình hành \(M♔NCD\) có \(MD = CD\) (cmt) nên là hì🌃nh thoi

b) Vì \(MNCD\) là hình thoi nên ♏\(MD = CD = NC = MN = \frac{1}{2}A🍌D = \frac{1}{2}BC\) (do \(AD = BD\))

Do \(NC = \frac{1}{2}BC\) nên \(🦩N\) là trung điểm𝄹 của \(BC\)

Xét \(\De🌸lta EBC\) v෴uông tại \(E\) có \(EN\) là trung tuyến nên \(EN = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(EN = NB = NC = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(\Delta NEC\) cân tại \(N\)

Mà \(NF\) là đường cao (do \(MF \bot EC\))

Suy ra \(NF\) cũng là trung tu♍yến, phân giác, trung trực của \(\Delta NEC\)

Suy ra \(F\) là trung điểm \(EC\)

Xét \(\Delta MEC\) có \(MF\) là đường cao đồng thời là🐼 trung tuyến

Suy ra \(\Delta EMC\) cân tại \(M\)

c) Vì \(AB\) // \(MN\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AEM}♏}} = \widehat {{\rm{EMN}}🌜}\) (so le trong)

M♔à \(\widehat {{\rm{EMN}}} = \widehat {{\rm{NMC}}}\) (do \(MF\) là phân g🙈iác)

\(\wideꦍhat {{\rm{NMC}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\) (do \(MN\) // \(CD\)🐭)

Suy ra \(\widehat {{\rm{A♋EM}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\)

Mà \꧅(\widehat {{\rm{MCD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCD}}}\) (d🍎o \(MNCD\) là hình thoi)

Và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rmౠ{BAD}}}\) (do \(ABCD\𒆙) là hình bình hành)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AE𝓰M}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\)

Suy ra \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)