Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\✅)). Gọi \(M\), \(N\), \(E\) lần lượt là trun🐭g điểm của \(AB\), \(AC\), \(BC\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(ANEB\) là hình tha💞ng vuông

b) Chứng minh rằng tứ giác \(ANEM\) là hình ch🅰ữ nhật

c) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(BN\) cắt \(EN\) tạ🤡i \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(AFCE\) là hình thoi

d) Gọi \(D\) là điểm đối cứng của \(E\) qua \(M\). Chứng minh rằn🍒g \(A\) là t🌜rung điểm của \(DF\)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có E là trung điểm của BC nên AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC nên AE = BE = EC = \(\frac{1}{2}\) BC. Vì AE = EC nên E thuộc đường trung trực của AC. Vì N là trung điểm của AC nên N thuộc đường trung trực của AC. => EN là đường trung trực của AC hay \( EN \bot AC\) Ta có \(AB \bot AC, EN \bot AC \Rightarrow AB // EN\) nên ANEB là hình thang. Vì \(\widehat {BAN} = 90^0\) nên ANEB là hình thang vuông.

b) 𒁏\(ౠM\), \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) (gt);

Suy ra \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta ABCဣ\)

Suy ra \(ME\) // \(AC\) hay \(ME\) // \(AN\)

Mà  \(AM\) // \(NE\) (do \(AB\) // \(NE\))

Suy ra tứ giác \(AMEN\) là hình bình hành

Mà \(\widehat {{\rm{MAN}}} = 90^\circ \) nê🔜n \(AMEN\)💙 là hình chữ nhật

c) Xét tứ giác \(BMFN\) có: \(MF\) // \(BN\) (gt🐎) và \(BM\🅺) // \(FN\) (do \(AB\) // \(NE\))

Suy ra \(BMFN\) là hình bình hành

Suy ra \(BM = FN\)

Mặ🧸t khác \(NE = AM\) (Tứ giác \(ANEM\) là hình chữ nhật) và \(AM = B♒M\)

Suy ra \(FN = NE\)

Tứ giác \(AF🗹CE\) có \(N\) là trung điểm của \(AC\) v💞à \(EF\)

Suy ra \(AFCE\) là hình bình hành

Mà \(AC \bot EF\)

Do đó \(AFCE\) là hình thoi

d) Xét tứ giác \(ADBE\) 🍌ta có: \(DE\) và \(AB\) cắt nh▨au tại \(M\) (gt)

Mà \(M\) là trung điểm của \(AB\) (gt)

\(M\) là trung điểm của \(DE\) (do \(D\) đối xứng với \(E\) qua \(M\)ℱ)

Suy ra \(ADBE\) là hình bình hành

Suy ra \(AD\) // \(BE\) hay \(AD\) // \(EC\)

Mà \(AF\) // \(EC\)  (do \(AECF\) là hình thoi)

Suy ra \(A,D,F\) thẳng hàng (1)

Mà \(ADBE\) là hình bình hành

Suy ra \(BE\) // \(AD\)

Mà \(A🦹F = EC\) (do \(AFCE\) là hình thoi); \(EB = EC\) (gt)

Suy ra \(AD = AF\)(2)

Từ (1) và (♚2) suy ra \(A🌳\) là trung điểm của \(DF\)