Đề bài

🐓Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)). Gọi \(M\), \(N\), \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\), \(BC\)

🦩a) Chứng minh rằng tứ giác \(ANEB\) là hình thang vuông

ꦕb) Chứng minh rằng tứ giác \(ANEM\) là hình chữ nhật

𝐆c) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(BN\) cắt \(EN\) tại \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(AFCE\) là hình thoi

ﷺd) Gọi \(D\) là điểm đối cứng của \(E\) qua \(M\). Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm của \(DF\)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có E là trung điểm của BC nên AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC nên AE = BE = EC = \(\frac{1}{2}\) BC. Vì AE = EC nên E thuộc đường trung trực của AC. Vì N là trung điểm của AC nên N thuộc đường trung trực của AC. => EN là đường trung trực của AC hay \( EN \bot AC\) Ta có \(AB \bot AC, EN \bot AC \Rightarrow AB // EN\) nên ANEB là hình thang. Vì \(\widehat {BAN} = 90^0\) nên ANEB là hình thang vuông.

🦩b) \(M\), \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) (gt);

💮Suy ra \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

Suy ra \(ME\) // \(AC\) hay \(ME\) // \(AN\)

Mà  \(AM\) // \(NE\) (do \(AB\) // \(NE\))

Suy ra tứ giác \(AMEN\) là hình bình hành

ꦯMà \(\widehat {{\rm{MAN}}} = 90^\circ \) nên \(AMEN\) là hình chữ nhật

🐼c) Xét tứ giác \(BMFN\) có: \(MF\) // \(BN\) (gt) và \(BM\) // \(FN\) (do \(AB\) // \(NE\))

Suy ra \(BMFN\) là hình bình hành

Suy ra \(BM = FN\)

🅺Mặt khác \(NE = AM\) (Tứ giác \(ANEM\) là hình chữ nhật) và \(AM = BM\)

Suy ra \(FN = NE\)

ꦐTứ giác \(AFCE\) có \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(EF\)

Suy ra \(AFCE\) là hình bình hành

Mà \(AC \bot EF\)

Do đó \(AFCE\) là hình thoi

🌺d) Xét tứ giác \(ADBE\) ta có: \(DE\) và \(AB\) cắt nhau tại \(M\) (gt)

Mà \(M\) là trung điểm của \(AB\) (gt)

ℱ\(M\) là trung điểm của \(DE\) (do \(D\) đối xứng với \(E\) qua \(M\))

Suy ra \(ADBE\) là hình bình hành

Suy ra \(AD\) // \(BE\) hay \(AD\) // \(EC\)

Mà \(AF\) // \(EC\)  (do \(AECF\) là hình thoi)

Suy ra \(A,D,F\) thẳng hàng (1)

Mà \(ADBE\) là hình bình hành

Suy ra \(BE\) // \(AD\)

ꦡMà \(AF = EC\) (do \(AFCE\) là hình thoi); \(EB = EC\) (gt)

Suy ra \(AD = AF\)(2)

𝔍Từ (1) và (2) suy ra \(A\) là trung điểm của \(DF\)