Đề bài

Tìm điểm A (khác gốc tọa độ O) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) sao cho khoảng cách từ điểm đó tới hai trục tọa độ là bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Điểm \(A\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có khoảng cách tới trục Ox và trục Oy lần lượt là \(\left| {{y_o}} \right|\) và \(\left| {{x_o}} \right|\). Khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) tới hai trục tọa độ bằng nhau khi \(\left| {{y_o}} \right| = \left| {{x_o}} \right|\) (1). Do điểm A thuộc đồ thị hàm số đã cho nên ta có: \({y_o} = x_o^2\) (2). Từ (1) ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1ܫ: \({y_o} = {x_o}\), từ (2) suy ra \(x_o^2 = {x_o}\) hay \(x_o^2 - {x_o} = 0\).

Suy ra \({x_o} = 0\) (loại, vì khi đó A trùng với gốc O), hoặc \({x_o} = 1\) (thỏa mãn). Khi đó, ta có điểm \({A_1}\left( {1;1} \right)\).

Trường hợp 2ജ: \({y_o} =  - {x_o}\), từ (2) suy ra \(x_o^2 =  - {x_o}\) hay \(x_o^2 + {x_o} = 0\).

Suy ra \({x_o} = 0\) (loại, vì khi đó A trùng với gốc O), hoặc \({x_o} =  - 1\) (thỏa mãn). Khi đó, ta có điểm \({A_2}\left( { - 1;1} \right)\). Vậy có hai điểm nằm trên đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) có khoảng cách đến hai trục tọa độ là bằng nhau là \({A_1}\left( {1;1} \right)\) và \({A_2}\left( { - 1;1} \right)\).