Đề bài

🍷Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều.

 

Lời giải chi tiết

Lục giác ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA  và \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA} = \widehat {EAF} = \widehat {FAB}\). Ta cũng có tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc của hai tứ giác ABCD và AFED, tức là bằng 2.360° = 720°. Do đó: \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA} = \widehat {EAF} = \widehat {FAB} = \frac{{{{720}^o}}}{6} = {120^o}.\) Xét ∆AFB cân tại A (do AB = AF) ta có: \(\widehat {ABF} = \widehat {AFB} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {FAB}}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\) Hay \(\widehat {ABS} = \widehat {AFR} = {30^o}\). Tương tự, đối với ∆ABC cân tại B ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = {30^o}\) hay \(\widehat {BAS} = {30^o}\). Do đó ta có \(\widehat {ABS} = \widehat {BAS} = {30^o}\). Nên ∆ABS cân tại S. Suy ra \(\widehat {ASB} = {180^o} - 2\widehat {BAS} = {180^o} - {2.30^o} = {120^o}\). Khi đó, \(\widehat {RSM} = \widehat {ASB} = {120^o}\)(đối đỉnh). Chứng minh tương tự, ta được:  \(\widehat {RSM} = \widehat {SMN} = \widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQR} = \widehat {QRS} = {120^o}\).      (1) Ta có: \(\widehat {BSA} + \widehat {BSM} = {180^o}\) (kề bù) Suy ra \(\widehat {BSM} = {180^o} - \widehat {BSA} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\). Ta cũng có: \(\widehat {BMS} = {180^o} - \widehat {BMC} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\). Do đó ∆BSM là tam giác cân, lại có \(\widehat {BSM} = {60^o}\)nên ∆BSM là tam giác đều. Suy ra SB = SM = BM. Chứng minh tương tự ta có ∆SAR là tam giác đều nên SA = SR = AR. Do ∆ABS cân tại S nên SA = SB. Khi đó, RS = SM. Chứng minh tương tự, ta được: RS = SM = MN = NP = PQ = QR. (2) Từ (1) và (2) suy ra lục giác MNPQRS là lục giác đều.