Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a² và x² để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

ꦬGọi P là trung điểm của BC và Q là giao điểm của các đường thẳng AP và FG.

🌜Xét ∆ABC đều có AP là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của tam giác.

𝐆Do đó: \(\widehat {BAP} = \widehat {PAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}{.60^o} = {30^o}\).

♛Xét ∆AFG cân tại A (do AF = AG = x) nên đường trung tuyến AQ đồng thời là đường phân giác của tam giác. Do đó \(\widehat {FAG} = 2\widehat {PAQ}\).

🐬Lại có: \(\widehat {PAQ} + \widehat {FAB} + \widehat {BAP} = {180^o}\)

𒁃Nên \(\widehat {PAQ} = {180^o} - \widehat {FAB} - \widehat {BAP}\) \( = {180^o} - {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

🐲Suy ra \(\widehat {PAG} = 2.\widehat {PAQ} = {2.60^o} = {120^o}\).

Kẻ GN vuông góc với FA (N thuộc FA).

♋Tam giác FQA vuông tại Q có \(\widehat {FAQ} = {60^o}\) và FA = x nên ta có:

ও\(FQ = FA.\sin \widehat {FAQ} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\), do đó FG = 2FQ = \(x\sqrt 3 \).

🦩Do ABEF, BCIJ và CAGH là các hình chữ nhật nên ta có: AB = EF, BC = IJ, CA = GH, mà AB = BC = CA (do ∆ABC đều) nên nếu EFGHIJ là lục giác đều thì FG = GH = AC = a, do đó a = \(x\sqrt 3 \) hay a² = 3x².

Ngược lại, nếu a² = 3x²ඣ thì FG = a và các cạnh của lục giác EFGHIJ bằng nhau. (1)

꧒Ta có \(\widehat {AFQ} + \widehat {FAQ} = {90^o}\) (do ∆AFQ vuông tại Q) nên:

🌜\(\widehat {AFQ} = {90^o} - \widehat {FAQ} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\)

🅺Suy ra \(\widehat {EFQ} = \widehat {EFA} + \widehat {AFQ} = {90^o} + {30^o} = {120^o}\).

♌Tương tự, ta chứng minh được các góc của lục giác EFGHIJ đều bằng 120° nên lục giác EFGHIJ là lục giác đều.

Vậy hệ thức liên hệ giữa a² và x² để lục giác EFGHIJ là lục giác đều là a² = 3x².