Đề bài

♛Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.

c) Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).Xét ∆ABD và ∆ACD có:AB = AC (do ∆ABC cân tại A),DB = DC (do D là trung điểm của BC),AD là cạnh chungDo đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (hai góc tương ứng).Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) Suy ra AD vuông góc với BC.Mặt khác D là trung điểm của BCDo đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.Suy ra GB = GC (1)Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.Do đó EB = EC (2)Xét ∆BGD và ∆BED có:\(\widehat {BDG} = \widehat {BDE}\left( { = 90^\circ } \right)\),BG là cạnh chung,DG = DE (giả thiết)Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)Suy ra BG = BE (3)Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.Vậy BG = GC = CE = BE.b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:AB = AC (do ∆ABC cân tại A),BE = CE (chứng minh câu a),AE là cạnh chungDo đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).Vậy ∆ABE = ∆ACE.c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}GE\) Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}AG\).Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên \(GE = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\).Mặt khác \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)Suy ra GE = GC.Theo câu a ta lại có GC = EC.Khi đó GC = GE = EC.+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đềuDo đó \(\widehat {CGE} = 60^\circ \)Suy ra:• \(\widehat {CGD} + \widehat {GCD} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)Suy ra \(\widehat {GCD} = 90^\circ  - \widehat {CGD} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \) • \(\widehat {CGE} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Nên \(\widehat {AGC} = {180^o} - \widehat {CGE} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA}\)Lại có \(\widehat {GAC} + \widehat {GCA} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác AGC).Do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {AGC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)+) Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACG} + \widehat {GCB}\) (hai góc kề nhau)Hay \(\widehat {ACB} = 30^\circ  + 30^\circ  = 60^\circ \)Tam giác cân ABC có \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.Vậy tam giác ABC đều.