Đề bài

Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

a) Chứng minh GA = GB = GC.

ജb) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

 

a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.Khi đó \(AN = NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM = MC\)Xét ∆ABM và ∆CBN có:AB = BC (giả thiết),\(\widehat {ABC}\) là góc chung,BM = BN (chứng minh trên)Do đó ∆ABM = ∆CBN (c.c.c).Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).• Vì G là trọng tâm tam giác ABCNên \(AG = \frac{2}{3}AM\) và \(CG = \frac{2}{3}CN\) (tính chất trọng tâm của tam giác).Mà AM = CN.Suy ra GA = GC.Chứng minh tương tự ta có GA = GB.Do đó GA = GB = GC.Vậy GA = GB = GC.b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).Nên GD = GB (1)Ta có G là trọng tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\)Mà GA = GD nên \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).Do đó\(GM = M{\rm{D}} = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).Xét ∆GMC và ∆DMB có:MB = MC (chứng minh câu a),\(\widehat {GMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc đối đỉnh),MG = MD (chứng minh trên).Do đó ∆GMC = ∆DMB (c.g.c)Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).Lại có GC = GB (theo câu a)Nên GB = DB (2)Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB. Do đó tam giác BGD là tam giác đều.Vậy tam giác BGD là tam giác đều