Đề bài

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.

Lời giải chi tiết

 

Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.Nên \(BI = \frac{2}{3}B{\rm{D}}\)(1)Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.Nên \(EK = \frac{2}{3}E{\rm{D}}\)(2)Mặt khác BD = DE, DB + DE = BENên \(B{\rm{D}} = DE = \frac{1}{3}BE\)(3)Từ (1), (2) và (3) ta có:\(BI = EK = \frac{2}{3}B{\rm{D}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\).Ta lại có: BI + IK + KE = BE.Suy ra \(\frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\)Suy ra \(IK = \frac{1}{3}BE\)Do đó BI = IK = EK (cùng bằng \(\frac{1}{3}BE\)).Vậy BI = IK = EK.