Đề bài

 ꦑCho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MG lấy điểm D sao cho MD = MG.

a) Chứng minh CG là trung tuyến của tam giác ACD.

b) Chứng minh BG song song với CD.

🍨c) Gọi I là trung điểm của BD; AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2FI.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\). Mà MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD và \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\) Suy ra GD = GA. Do đó CG là trung tuyến của tam giác ACD. Vậy CG là trung tuyến của tam giác ACD. b) Xét ∆BGM và ∆CDM có: GM = DM (giả thiết), \(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\) (hai góc đối đỉnh), MB = MC (vì M là trung điểm của BC) Nên ∆BGM = ∆CDM (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BGM} = \widehat {CDM}\) (hai góc tương ứng). Mà chúng ở vị trí so le trong nên BG // CD. Vậy BG // CD. c) Trong tam giác ABD có AI và BG là hai đường trung tuyến, AI và BG cắt nhau tại F. Do đó F là trọng tâm của tam giác ABD. Suy ra FI = 1212FA hay AF = 2FI. Vậy AF = 2FI.