Đề bài

Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 5cm. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng \(24c{m^2}\). Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền của tam giác nên \(BC = 2.5 = 10\left( {cm} \right)\). Theo định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 100\left( {c{m^2}} \right)\). Vì diện tích tam giác ABC bằng \(24c{m^2}\) nên: \(\frac{1}{2}.AB.AC = 24\left( {c{m^2}} \right)\). Từ đây suy ra \({\left( {AB + AC} \right)^2} = A{B^2} + 2AB.AC + A{C^2} = 196\) hay \(AB + AC = 14cm\). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó, r là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, AIB. Do đó \({S_{ABC}} = {S_{BIC}} + {S_{CIA}} + {S_{AIB}}\) \(= \frac{1}{2}BC.r.\frac{1}{2}CA.r + \frac{1}{2}AB.r \) \(= \frac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right).r\). Suy ra \(24 = \frac{1}{2}\left( {10 + 14} \right)r\), hay \(r = 2cm\).