Đề bài

Cho \(ABCD\) là hình bình hành. Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 11). Chứng minh: a)      \(A{E^2} = EK.EG\) b)     \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\)

 

Lời giải chi tiết

a)      Do \(AD//BK,AB//DG\) nên theo hệ quả của định lí Thales, ta có: \(\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AE}}{{EG}}\) hay \(\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EG}}\) →    \(A{E^2} = EK.EG\). b)     Ta có: \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}};\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) Nên \(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{DB}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1\) →    \(AE.\left( {\frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}} \right) = 1\) Vậy \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} = \frac{1}{{AG}}\).