Đề bài

Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2{x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1,x = 1\). a) Tính diện tích của \(D\). b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).

Lời giải chi tiết

a) \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {2{{\rm{x}}^3}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {2{{\rm{x}}^3}} \right|dx}  + \int\limits_0^1 {\left| {2{{\rm{x}}^3}} \right|dx}  = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {2{{\rm{x}}^3}dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {2{{\rm{x}}^3}dx} } \right| = \left| {\left. {\frac{{{x^4}}}{2}} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\frac{{{x^4}}}{2}} \right|_0^1} \right| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). b) \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2{{\rm{x}}^3}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {4{{\rm{x}}^6}dx}  = \left. {4\pi .\frac{{{x^7}}}{7}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{8\pi }}{7}\).