Đề bài

Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\), với \(MA=a,MB=b\). Vẽ hai tam giác đều \(AMC\) và \(BMD\); gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(CM\), \(F\) là giao điểm của \(DM\) và \(BC\) (Hình 58).

 

a)      Chứng minh \(EF//AB\) b)     Tính \(ME,MF\) theo \(a,b\).

Lời giải chi tiết

a)      Ta có \(\widehat{DMB}=\widehat{CAM}=60{}^\circ \), \(\widehat{DBM}=\widehat{CMA}=60{}^\circ \). Suy ra \(MD//AC,DB//CM\).Do \(MD//AC\) nên \(\frac{EC}{EM}=\frac{AC}{DM}=\frac{a}{b}\) (theo định lí Thales)Tương tự, do \(DB//CM\) nên \(\frac{CF}{FB}=\frac{CM}{DB}=\frac{a}{b}\)Từ đó, ta có: \(\frac{EC}{EM}=\frac{CF}{FB}=\frac{a}{b}\) nên \(EF//MB\) hay \(EF//AB\)b)     Từ \(EF//AB\) suy ra tam giác \(EMF\) là tam giác đều.Từ đó, ta có: \(\frac{EC=\frac{a}{a+b}}{CM}=\frac{EF}{MB}=\frac{EC+EF}{CM+MB}\)\(=>EF=\frac{ab}{a+b}\)Vì tam giác \(MEF\) là tam giác đều nên \(ME=MF=EF=\frac{ab}{a+b}\).