Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\). Chứng minh: a)      \(\Delta EBH\backsim \Delta DCH,\Delta ADE\backsim \Delta ABC\); b)     \(DB\) là tia phân giác của góc \(EDI\), với \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).

Lời giải chi tiết

a)      Vì các tam giác \(EBH\) và \(DCH\) đều là các tam giác vuông và \(\widehat{EBH}=\widehat{DHC}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\Delta EBH\backsim \Delta DCH\). Tương tự, ta có các tam giác \(ABH\) và \(ACE\) là các tam giác vuông và \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}\) nên \(\Delta ABH\backsim \Delta ACE\). Suy ra \(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\) hay \(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\). Mà \(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\) suy ra \(\Delta ADE\backsim \Delta ABC\).b)     Do \(\Delta ADE\backsim \Delta ABC\) nên \(\widehat{ADE}=\widehat{CBA}\) (1). Tương tự cách chứng minh ở câu a, ta có \(\Delta CDI\backsim \Delta CBA\) (2). Từ (1) và (2), ta có \(\widehat{ADE}=\widehat{CDI}\).Do đó \(90{}^\circ -\widehat{ADE}=90{}^\circ -\widehat{CDI}\) hay \(\widehat{EDB}=\widehat{BDI}\). Vậy \(DB\) là đường phân giác của góc \(EDI\).