Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,AC = 12cm\) và \(BC = 15cm.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 4cm\) và trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = 3cm\) . Gọi \(O\) là giao điểm của \(CM\) và \(BN\) . Chứng minh rằng: a) \(\Delta ABN ∽ \Delta ACM;\) b) \(\Delta BMO ∽ \Delta CNO;\) c) \(\Delta BOC ∽ \Delta MON;\) d) \(CM\) là tia phân giác của góc \(ACB\) và \(\Delta MBN\) cân tại \(M.\) 

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác \(ABN\) và tam giác \(ACM\) , ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}} = \frac{3}{4}\) \(\widehat A\) là góc chung=> \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) (cạnh-góc-cạnh)b) Xét hai tam giác \(BMO\) và tam giác \(CNO\) , ta có: \(\widehat {MBO} = \widehat {NCO}\) (do \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) ) \(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (hai góc đối đỉnh)=> \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) (góc-góc)c) Vì \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) , ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{MO}}{{NO}} \Rightarrow \frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)Xét tam giác \(BOC\) và tam giác \(MON\) , ta có: \(\frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\) \(\widehat {MOB} = \widehat {CON}\) (hai góc đối đỉnh)=> \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) (cạnh-góc-cạnh)d) Xét tam giác \(ABC\) , ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\\\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\\ = > \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\end{array}\)=> \(CM\) là tia phân giác của tam giác \(ABC\) . Lại có: \(\widehat {NCM} = \widehat {MCB}\) (do CM là tia phân giác)Mà \(\widehat {NCM} = \widehat {MBN}\) (do \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) )Suy ra \(\widehat {MCB} = \widehat {MBN}\)Mà \(\widehat {MCB} = \widehat {MNB}\) (do \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) )Suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {MNB}\)Vậy tam giác \(MBN\) là tam giác cân tại \(M\) .