Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường trung tuyến. Một đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) và \(AD\) lần lượt tại \(M,N\) và \(O\) . a) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(MN.\) b) Cho tỉ số của diện tích \(\Delta AMN\) và \(\Delta ABC\) là \(\frac{4}{9}\) . Chứng minh rằng \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\) 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(AMO\) , ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{AD}}\) (do \(MO//BD\) áp dụng định lí Thales) \(\widehat A\) là góc chung=> \(\Delta ABD\) ∽ \(\Delta AMO\) (cạnh-góc-cạnh)Ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{AD}} = \frac{{MO}}{{BD}}\) (1)Chứng minh tương tự với tam giác \(ANO\) và tam giác \(ACD\) , ta được: \(\Delta ANO\) ∽ \(\Delta ACD\) (cạnh-góc-cạnh) \(\frac{{AO}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{ON}}{{DC}}\) (2)Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{MO}}{{BD}} = \frac{{NO}}{{CD}} = \frac{{AO}}{{AD}}\)Mà \(BD = CD\) (do \(D\) là trung điểm)=> \(MO = NO\)=> O là trung điểm của \(MN\) .b)

 

Kẻ đường cao \(AE\) cắt \(MN\) tại \(F\) và cắt \(BC\) tại \(E\) .Ta có \(\Delta AMN\) ∽ \(\Delta ABC\)=> \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AE}}\)Diện tích tam giác \(AMN\) là: \(\frac{1}{2}AF.MN\)Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(\frac{1}{2}AE.BC\)Ta có tỉ số diện tích: \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AF.MN}}{{\frac{1}{2}AE.BC}} = \frac{4}{9}\) \(\frac{{AF.MN}}{{AE.BC}} = \frac{4}{9}\)Mà \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)=> \(\begin{array}{l}\frac{{AF.MN}}{{AE.BC}} = \frac{4}{9}\\ \frac{{2AF}}{{2AE}} = \frac{4}{9}\\ \Rightarrow \frac{{AF}}{{AE}} = \frac{2}{3}\end{array}\)=> \(\frac{{AO}}{{AD}} = \frac{2}{3}\)Vậy \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)