Đề bài

Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua \({Đ_d}\)Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua \({Đ_d}\)Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua \({Đ_d}\)Do đó \(A'N{\rm{ }} = {\rm{ }}AM.\)Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B quaSuy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.Mà \(N \in b\)  (giả thiết).Do đó \(NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}NB.\)Ta có \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB{\rm{ }} = {\rm{ }}A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'.\)Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B'.\)Do đó tổng khoảng cách \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'B'.\)Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.

Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đ_d꧙(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right),{\rm{ }}B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_b}\left( B \right).\)