Đề bài

 ღTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) và đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

🔯a) Tìm ảnh của (C) và \(\Delta \) qua phép đối xứng trục Ox.

🌸b) Tìm ảnh của (C) và \(\Delta \) qua phép đối xứng trục Oy.

♌c) Tìm ảnh của (C) và \(\Delta \) qua phép đối xứng trục \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Lời giải chi tiết

Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.a)

 

+ Gọi \(({C_1})\) là ảnh của (C) qua \({Đ_{Ox}}\), khi đó (C₁) có tâm I₁ 𒆙là ảnh của I(3; 4) \({Đ_{Ox}}\) và bán kính \({R_1}\; = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}5.\)

Ta có \({I_1}\; = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn \(\;I{I_1}\)

Do đó hai điểm I(3; 4) và I₁ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ \({I_1}\left( {3;{\rm{ }}-4} \right).\)

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Ox là đường tròn (C₁) có phương trình là:

\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}\; = {\rm{ }}25.\)+ Trục \(Ox:{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)Với y = 0, ta có \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3.0{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}-2.\)Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm \(P\left( {-2;{\rm{ }}0} \right).\)Khi đó \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( P \right).\)Chọn \(M\left( {1;{\rm{ }}-2} \right) \in \Delta \)

Gọi M₁ và ∆₁𝔉 theo thứ tự là ảnh của M và \(\Delta \) qua \({Đ_{Ox}}\)

Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM₁.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M₁ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ \({M_1}\left( {1;{\rm{ }}2} \right).\)Ta có \(\overrightarrow {{M_1}P}  = \left( { - 3; - 2} \right)\)Đường thẳng \({\Delta _1}\;\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}P}  = \left( { - 3; - 2} \right)\)Suy ra \({\Delta _1}\;\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{{\Delta _1}}} = \left( {2; - 3} \right)\)Vậy đường thẳng \({\Delta _1}\;\) đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{{\Delta _1}}} = \left( {2; - 3} \right)\) nên có phương trình là:\(2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow 2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)b)

 

+ Gọi \(({C_2})\) là ảnh của (C) qua \({Đ_{Oy}}\), khi đó \(({C_2})\) có tâm \({I_{2\;}}\)  là ảnh của \(I\left( {3;{\rm{ }}4} \right)\)qua \({Đ_{Oy}}\)  và bán kính \({R_2}\; = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}5.\) Ta có \({I_2}\; = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( I \right).\)Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn \(I{I_2}.\)Do đó hai điểm I(3; 4) và \({I_{2\;}}\) có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.Vì vậy tọa độ \({I_2}\left( {-3;{\rm{ }}4} \right).\)Vậy ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Oy}}\)  là đường tròn \(({C_2})\) có phương trình là:\({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}\; = {\rm{ }}25.\)+ Trục \(Oy:{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)Với x = 0, ta có \(2.0{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow y =  - \frac{4}{3}\)Suy ra giao điểm của \(\Delta \) và trục Oy là điểm  \(Q\left( {0; - \frac{4}{3}} \right)\)Khi đó \(Q{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( Q \right).\)Chọn \(M\left( {1;{\rm{ }}-2} \right) \in \Delta \) Gọi \({M_2}\;\) và \({\Delta _2}\;\)  theo thứ tự là ảnh của M và \(\Delta \) qua \({Đ_{Oy}}\)Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn \(M{M_2}.\)

Do đó hai điểm M(1; –2) và M₂ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ \({M_2}\left( {-1;{\rm{ }}-2} \right).\)Ta có \(\overrightarrow {{M_2}Q}  = \left( {1;\frac{2}{3}} \right)\)

Đường thẳng ∆₂🅘 có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = 3\overrightarrow {{M_2}Q}  = \left( {3;2} \right)\)

Suy ra ∆₂𒊎 có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{{\Delta _2}}} = \left( {2; - 3} \right)\)

Vậy đường thẳng \({\Delta _2}\)  đi qua \({M_2}\left( {-1;{\rm{ }}-2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{{\Delta _2}}} = \left( {2; - 3} \right)\) nên có phương trình là:\(2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow 2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) c)

 

+ Gọi \({\rm{ }}({C_3})\) là ảnh của (C) qua \({Đ_d}\), khi đó \(({C_2})\) có tâm \({I_3}\)  là ảnh của I(3; 4) qua Đ_d ♋và bán kính \({R_3}\; = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}5.\)

Ta có \({I_3}\; = {\rm{ }}{Đ_d}\left( I \right).\)

Suy ra d là đường trung trực của đoạn II₃ nên II₃ ⊥ d tại trung điểm của II₃.

Mà đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1; - 1} \right)\)

Suy ra đường thẳng II₃ꦦ có vectơ chỉ phương \({\vec n_d} = \left( {1; - 1} \right)\)

Do đó đường thẳng II₃𝓡 có vectơ pháp tuyến \(\vec u = \left( {1;1} \right)\)

Vì vậy đường thẳng II₃ﷺ đi qua điểm I(3; 4) và nhận \(\vec u = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(1\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) Gọi H là giao điểm của \(I{I_3}\) và đường thẳng d.Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} - {\rm{y}} - 3 = 0}\\{{\rm{x}} + {\rm{y}} - 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = 5}\\{{\rm{y}} = 2}\end{array}} \right.\)Do đó tọa độ \(H\left( {5;{\rm{ }}2} \right).\)Ta có H là trung điểm \(I{I_3}.\)Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{{{\rm{I}}_3}}} = 2{{\rm{x}}_{\rm{H}}} - {{\rm{x}}_{\rm{I}}} = 2.5 - 3 = 7}\\{{{\rm{y}}_{{{\rm{I}}_3}}} = 2{{\rm{y}}_{\rm{H}}} - {{\rm{y}}_{\rm{I}}} = 2.2 - 4 = 0}\end{array}} \right.\)Do đó tọa độ \({I_3}\left( {7;{\rm{ }}0} \right).\)Vậy ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_d}\) là đường tròn \(({C_3})\) có phương trình là:\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; = {\rm{ }}25.\) + Gọi R là giao điểm của \(\Delta \)  và d.Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{x}} + 3{\rm{y}} + 4 = 0}\\{{\rm{x}} - {\rm{y}} - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = 1}\\{{\rm{y}} =  - 2}\end{array}} \right.\)Do đó tọa độ R(1; –2).Khi đó \(R{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( R \right).\)Chọn \(N\left( {-2;{\rm{ }}0} \right) \in \Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)Gọi N’ và \({\Delta _3}\) theo thứ tự là ảnh của N và \(\Delta \) qua \({Đ_d}\).Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.Mà đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1; - 1} \right)\)Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương \({\vec n_d} = \left( {1; - 1} \right)\) Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến \(\vec u = \left( {1;1} \right)\)Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận \(\vec u = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:\(1\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} + {\rm{y}} + 2 = 0}\\{{\rm{x}} - {\rm{y}} - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = \frac{1}{2}}\\{{\rm{y}} =  - \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)Do đó tọa độ \(K\left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\)Ta có K là trung điểm NN’. Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{{\rm{N'}}}} = 2{{\rm{x}}_{\rm{K}}} - {{\rm{x}}_{\rm{N}}} = 2.\frac{1}{2} + 2 = 3}\\{{{\rm{y}}_{{\rm{N'}}}} = 2{{\rm{y}}_{\rm{K}}} - {{\rm{y}}_{\rm{N}}} = 2.\left( { - \frac{5}{2}} \right) - 0 =  - 5}\end{array}} \right.\)Do đó tọa độ N’(3; –5).Với R(1; –2), ta có \(\overrightarrow {N'R}  = \left( { - 2;3} \right)\)Đường thẳng \({\Delta _3}\)  có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {N'R}  = \left( { - 2;3} \right)\)Suy ra \({\Delta _3}\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{{\Delta _3}}} = \left( {3;2} \right)\)Vậy đường thẳng \({\Delta _3}\) đi qua N’(3; –5) và nhận \({\vec n_{{\Delta _3}}} = \left( {3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:\(3\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)