Đề bài

Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho \(R < OA < 3R\). a) Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). Gọi B là một trong hai giao điểm của chúng. b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Nối A với C cắt (O) tại D (khác C). Chứng minh rằng \(AD = DC\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(R < OA < 3R\) nên \(2R - R < OA < 2R + R\) nên đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). b) Do tính đối xứng của đường tròn và do C đối xứng với B qua O, ta có \(C \in \left( O \right)\). Do đó, BC là một đường kính của (O; R). Lại có, AB là một bán kính của (A; 2R). Suy ra, \(BC = 2R = AB\). Suy ra tam giác ABC cân tại B. Mặt khác, tam giác BCD có DO là trung tuyến và \(DO = \frac{{BC}}{2}\) nên tam giác BCD vuông tại D. Suy ra: \(BD \bot CD\). Tam giác ABC cân tại B nên BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. Do đó, \(AD = DC\).