Đề bài

Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ MN. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt AM tại B và cắt AN tại C. Biết \(AB = 10cm\), \(AC = 7cm\) và \(BC = 6cm\). Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AN, BM và CN.

Lời giải chi tiết

Vì AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(AM = AN\). Vì BM và BE là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(BM = BE\). Vì CE và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(CE = CN\). Ta có: \(AM + AN = AB + BM + AC + CN \) \(= AB + BE + AC + CE = AB + AC + \left( {BE + CE} \right)\) \( = AB + AC + BC\) Suy ra \(2AM = 10 + 7 + 6 = 23\left( {cm} \right)\) nên \(AM = AN = 11,5\left( {cm} \right)\) \(BM = AM - AB = 11,5 - 10 = 1,5\left( {cm} \right),\) \(CN = AN - AC = 11,5 - 7 = 4,5\left( {cm} \right)\).