Đề bài

Bàiꦏ 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi O là giao diểm của đường thẳng BN và CM. Chứng minh rằng O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết

GT	\(\Delta ABC\)cân tại A,\(M \in AC,N \in AC,AM = MB,\) \(AN = NC,BN \cap CM = O.\)
KL	O thuộc trung trực BC

Hai tam giác ABN và ACM có:AB = AC (\(\Delta ABC\)cân tại A)\(\widehat {BAN} = \widehat {CAM}\)(góc chung)\(AN = \frac{{AC}}{2} = \frac{{AB}}{2} = AM\)(\(\Delta ABC\)cân tại A)Vậy \(\Delta ABN = \Delta ACM\)(c-g-c). Từ đó suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM},\widehat {ANB} = \widehat {AMC}\)Hai tam giác BOM và CON có:\(\widehat {OMB} = {180^o} - \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {ANB} = \widehat {ONC}\)(chứng minh trên)\(BM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{2} = CN\)(\(\Delta ABC\)cân tại A)\(\widehat {MBO} = \widehat {ABN} = \widehat {ACM} = \widehat {NCO}\)(chứng minh trên)Vậy \(\Delta BOM = \Delta CON\)(g-c-g). Do đó OB = OC.Vậy O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BC. Suy ra O nằm trên trung trực của BC.