Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB;AC;BC\). Kẻ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng tứ giác \(MNPH\) là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN//BC\) (tính chất đường trung bình). \( \Rightarrow MN//HP\left( {H;P \in BC} \right)\) Xét tứ giác \(MNPH\) có: \(MN//HP \Rightarrow \) tứ giác \(MNPH\) là hình thang. - Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;P\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MP = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (1). - Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có: \(N\)là trung điểm của \(AC\) nên \(HN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(MP = HN\). Xét hình thang \(MNPH\) có: \(MP = HN\) (chứng minh trên). Do đó, hình thang \(MNPH\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).